pdweb.jp プロダクトデザインの総合Webマガジン

pdweb.jp プロダクトデザインの総合Webマガジン Tool Special
●パーソナル3Dプリンタ「Mojo」が切り拓くデスクトップマニファクチャリング

私のスケッチ
●第7回：吉岡徳仁氏の「Camper to&ether」
●第6回：第6回：山中俊治の「アスリート用大腿義足」
●第5回：清水久和氏の「井伊直弼」と「髷貯金箱」
●第4回：酒井俊彦氏のアットアロマ社「新型アロマデフューザー」
●第3回：奥山清行氏の天童木工「ORIZURU」
●第2回：磯野梨影：かみみの「はなのあかり」
●第1回：塚本カナエ：資生堂「化粧惑星」

デジタルツールはじめの一歩

ペンタブレット「Cintiq 21UX実践編」
●第3回：Cintiq 21UXでCADデータの修正作業をすばやく行う！
●第2回：CGと写真の合成で作るプレゼンテーション
●第1回：Cintiq 21UXとPhotoshopで行うプレゼンテーション制作

ペンタブレット「Intuos/Cintiq編」
●第2回：Cintiq 21UXとSketchBook Designer
●第1回：Intuos4でCADを操作する

iPadでデザインワーク編
●第5回：アイデア支援ツール、プレゼンテーション用ツールとしてのiPad
●第4回：スケッチツールとしてのiPadと「Adobe Ideas」、ノートアプリ「MUJI NOTEBOOK」
●第3回：スケッチツールとしてのiPadと「Sketchbook Pro」その2
●第2回：スケッチツールとしてのiPadと「Sketchbook Pro」その1
●第1回：3DビューワとしてのiPadと「iRhino 3D」
Rhinoceros編
●最終回：Rhinocerosを使い倒そう
●第9回：作業効率を見直そう
●第8回：融合する形状の作成方法
●第7回：まだまだ続く2レースルスイープ
●第6回：3次曲線を使っての2レールスイープ
●第5回：Rhinocerosの本質を生かす機能「2レールスイープ」
●第4回：フィレットは重要なデザイン要素　その2
●第3回：フィレットは重要なデザイン要素
●第2回：3Dは2Dからはじまる
●第1回：Rhinocerosを使い始める前に
SolidWorks編
●第5回：閉じた輪郭からのロフト曲面
●第4回：回転とシェルで作る器のモデリング
●第3回：円柱とパイプ形状のモデリング
●第2回：直方体モデリングの応用と使い道
●第1回：立方体は角柱モデリング

3D CADお役立ちTIPS
●第28回：キャラクターモデルの作成：くじら編 2
●第27回：キャラクターモデルの作成：くじら編 1
●第26回：ラムネボトルの作成 5
●第25回：ラムネボトルの作成 4
●第24回：ラムネボトルの作成 3
●第23回：ラムネボトルの作成 2
●第22回：ラムネボトルの作成 1
●第21回：アプローチ曲面を使ったフィレットの作成
●第20回：スケッチ定義の注意点
●第19回：大きさが異なるフィレットの馴染ませ方
●第18回：フィーチャーを使ったパイプ形状の作成
●第17回：スケーリングを使った形状の検討
●第16回：ブレンド曲面を使った形状の作成 3
●第15回：座布団形状の作成
●第14回：CADデータ受け渡し時の注意点
●第13回：面取りによる見え方の違い
●第12回：ブレンド曲面を使った形状の作成 2
●第11回：2つのエッジが合流する部分のまとめ方 2
●第10回：不正面の修正
●第9回：交差する溝の作成　ソリッド編
●第8回：ブレンド曲面を使った形状の作成
●第7回：一定幅フィレットの作成
●第6回：2つのエッジが合流する部分のまとめ方
●第5回：曲面の連続性を意識したフィレットの作成
●第4回：投影を使った3D曲線の作成
●第3回：履歴を使った形状の検討
●第2回：楕円ボタン形状の作成
●第1回：滑らかな除変フィレットの作成

3Dデジタルツールと立体造形
●第9回：フィレットを施す
●第8回：複合カーブのコントロールその3
●第7回：複合カーブのコントロールその2
●第6回：複合カーブのコントロールその1
●第5回：ノットの理解
●第4回：1枚のサーフェスで表現できる形状
●第3回：自由曲線とUVパラメータ
●第2回：自由曲線を表現するパラメータとその次数
●第1回：Illustratorで表現される自由曲線

中島淳雄
1956年生まれ。電気通信大学材料科学科卒業後、電子部品メーカーエンジニアを経て、日本コンピュータービジョン社他で3D CADやCGのテクニカルサポートを担当。1997年、アプリケーションソフトウェアの販売、サポート、コンサルティングを行う株式会社アプリクラフト設立。同社代表取締役社長。
http://www.applicraft.com/

Fig-24　（クリックで拡大）

Fig-25　（クリックで拡大）

Fig-26　（クリックで拡大）

Fig-27 （クリックで拡大）

Fig-28 （クリックで拡大）

Fig-29 （クリックで拡大）

3Dデジタルツールと立体造形

NURBSの中でも理解しづらいのがノットだ。

次数の上げ下げやコントロールポイントの空間上の位置でカーブやサーフェスの形状が定義されることは説明したが、ノットはその存在が目に見えない（注；Rhinocerosではオブジェクトスナップの機能でノットを選択することができる）。

第2回で、BezierとNURBSの違いについて次のように説明している。

・Bezierに比べてNURBSの良いところの1つは、次数を上げることなくコントロールポイントの数を増やすことができるところである。
・コントロールポイントの数を増やすとBezierでは複数のカーブに分割されてしまうが、NURBSではコントロールポイントが増えた場合はカーブの内部をノット（節）という点でセグメント分けすることによって、1本のカーブとして表現することができる。

Fig-24は、ボトルをモデリングするときに、2次、3次、5次でボトルの輪郭線を描いた例である。ここで、一番左側の2次で描いたカーブは滑らかな自由曲線に見えるが、カーブの曲率を見てみると、ところどころで“曲率の大きさ”が急激に変わっていることが分かる。

この曲率が大きく変化する場所を、ノットと呼ぶ。

真ん中のカーブはどうであろうか？　曲率の変化は2次のものに比べ滑らかだが、よく見ると“曲率の変化”がある箇所で大きく変わっているのが分かる。この場所が3次のカーブの場合のノットである。

2次と3次の違いは、“ノット”において突然曲率の値が変わっているところである。これは円弧や楕円をうまくつなげたときの状態に見られ、ノットにおける接線方向は同じ方向を向いている（Fig-25）。

これに比べ、3次のカーブはノットにおいて“曲率の変化”は多少大きく変わってはいるものの、“曲率の値“そのものは同じである。

この違いは、自動車を減加速するときを考えてみるとよいかもしれない。

ローギアで加速してある程度のスピードになったらセカンドギアに入れるとき、いきなりクラッチをつなぐと衝撃を伴うが、うまくクラッチをつなげると衝撃はほとんど感じない。

これを2次と3次の違いと考えてよい。さらに4次、5次と次数を上げていくとこの衝撃は感じなといってよい。つまり、よりスムースに滑らかに内部でつながっているということである。

これはサーフェスにおいても同様で、このカーブを回転してボトルを作成しサーフェス上の曲率を視覚化して表示してみると、その変化の違いがさらによく分かる。

この例では、曲率を10～20で青から赤に変化させて視覚化した例である（Fig-26、Fig-27）。

これで、1本のカーブの内部においても、保障される滑らかさにNURBSの字数によって制限があることがわかる。

ノットの位置における滑らかさを連続性と言い換えると、NURBSのカーブにおいてカーブの内部が複数のセグメントに分かれる場合、つまりノットが発生する場合、そのカーブ内部の連続性はノットにおいて

・2次のカーブの場合、ノットにおいて接線方向の連続性が保障される
・3次のカーブの場合、ノットにおいて接線方向の連続性、および曲率の値が保障される
ということがいえる。

さらに次数を上げていくと、ノットにおける曲率の変化“率”が保証される（4次）、変化“率”の変化“率”が保障される（5次）などがいえる。

ただし例外的に、2次のカーブでも“円”や“楕円“のようなカーブは、ノットにおいても曲率の変化の値は保証される。

以上から、もし1本のカーブをNURBSで表現する場合、3つのコントロールポイントで表現できるのであれば2次で、4つのコントロールポイントで表現できるのであれば3次で描ければ内部的にノットは発生しないので、滑らかさを気にする必要はなくなる。

問題はコントロールポイントの数を多く必要とする場合であるが、5次のNURBSであればノットにおける変化を認識することはほとんどできないので、特殊な場合を除き最大5次で描けばよいであろう。

Bezierで表現する場合は、内部にノットを持てないので、複雑な形状を持つカーブを描くためには次数を上げていくしか方法はない。

次数によるサーフェスの違いを、Fig-28、Fig-29に示す。

これらのサーフェスはUV方向各6つのコントロールポイントを持つサーフェスで、次数が異なるものである。一番左の平面のサーフェスを除き、コントロールポイントの位置はすべて同じくXYZ座標に配置してある。

今回は1本のカーブにおける連続性について説明したが、実際にモデリングに使用するカーブは、複数のカーブから構成されることが多々ある。

次回は、複数のカーブから構成される場合の連続性について考えてみたい。