Tool Special ●パーソナル3Dプリンタ「Mojo」が切り拓くデスクトップマニファクチャリング 私のスケッチ ●第7回：吉岡徳仁氏の「Camper to&ether」 ●第6回：第6回：山中俊治の「アスリート用大腿義足」 ●第5回：清水久和氏の「井伊直弼」と「髷貯金箱」 ●第4回：酒井俊彦氏のアットアロマ社「新型アロマデフューザー」 ●第3回：奥山清行氏の天童木工「ORIZURU」 ●第2回：磯野梨影：かみみの「はなのあかり」 ●第1回：塚本カナエ：資生堂「化粧惑星」 デジタルツールはじめの一歩 ペンタブレット「Cintiq 21UX実践 編」 ●第3回：Cintiq 21UXでCADデータの修正作業をすばやく行う！ ●第2回：CGと写真の合成で作るプレゼンテーション ●第1回：Cintiq 21UXとPhotoshopで行うプレゼンテーション制作 ペンタブレット「Intuos/Cintiq編」 ●第2回：Cintiq 21UXとSketchBook Designer ●第1回：Intuos4でCADを操作する iPadでデザインワーク編 ●第5回：アイデア支援ツール、プレゼンテーション用ツールとしてのiPad ●第4回：スケッチツールとしてのiPadと「Adobe Ideas」、ノートアプリ「MUJI NOTEBOOK」 ●第3回：スケッチツールとしてのiPadと「Sketchbook Pro」その2 ●第2回：スケッチツールとしてのiPadと「Sketchbook Pro」その1 ●第1回：3DビューワとしてのiPadと「iRhino 3D」 Rhinoceros編 ●最終回：Rhinocerosを使い倒そう ●第9回：作業効率を見直そう ●第8回：融合する形状の作成方法 ●第7回：まだまだ続く2レースルスイープ ●第6回：3次曲線を使っての2レールスイープ ●第5回：Rhinocerosの本質を生かす機能「2レールスイープ」 ●第4回：フィレットは重要なデザイン要素　その2 ●第3回：フィレットは重要なデザイン要素 ●第2回：3Dは2Dからはじまる ●第1回：Rhinocerosを使い始める前に SolidWorks編 ●第5回：閉じた輪郭からのロフト曲面 ●第4回：回転とシェルで作る器のモデリング ●第3回：円柱とパイプ形状のモデリング ●第2回：直方体モデリングの応用と使い道 ●第1回：立方体は角柱モデリング 3D CADお役立ちTIPS ●第28回：キャラクターモデルの作成：くじら編 2 ●第27回：キャラクターモデルの作成：くじら編 1 ●第26回：ラムネボトルの作成 5 ●第25回：ラムネボトルの作成 4 ●第24回：ラムネボトルの作成 3 ●第23回：ラムネボトルの作成 2 ●第22回：ラムネボトルの作成 1 ●第21回：アプローチ曲面を使ったフィレットの作成 ●第20回：スケッチ定義の注意点 ●第19回：大きさが異なるフィレットの馴染ませ方 ●第18回：フィーチャーを使ったパイプ形状の作成 ●第17回：スケーリングを使った形状の検討 ●第16回：ブレンド曲面を使った形状の作成 3 ●第15回：座布団形状の作成 ●第14回：CADデータ受け渡し時の注意点 ●第13回：面取りによる見え方の違い ●第12回：ブレンド曲面を使った形状の作成 2 ●第11回：2つのエッジが合流する部分のまとめ方 2 ●第10回：不正面の修正 ●第9回：交差する溝の作成　ソリッド編 ●第8回：ブレンド曲面を使った形状の作成 ●第7回：一定幅フィレットの作成 ●第6回：2つのエッジが合流する部分のまとめ方 ●第5回：曲面の連続性を意識したフィレットの作成 ●第4回：投影を使った3D曲線の作成 ●第3回：履歴を使った形状の検討 ●第2回：楕円ボタン形状の作成 ●第1回：滑らかな除変フィレットの作成 3Dデジタルツールと立体造形 ●第9回：フィレットを施す ●第8回：複合カーブのコントロール その3 ●第7回：複合カーブのコントロール その2 ●第6回：複合カーブのコントロール その1 ●第5回：ノットの理解 ●第4回：1枚のサーフェスで表現できる形状 ●第3回：自由曲線とUVパラメータ ●第2回：自由曲線を表現するパラメータとその次数 ●第1回：Illustratorで表現される自由曲線

中島淳雄 1956年生まれ。電気通信大学材料科学科卒業後、電子部品メーカーエンジニアを経て、日本コンピュータービジョン社他で3D CADやCGのテクニカルサポートを担当。1997年、アプリケーションソフトウェアの販売、サポート、コンサルティングを行う株式会社アプリクラフト設立。同社代表取締役社長。 http://www.applicraft.com/ Fig-3　（クリックで拡大） Fig-4　（クリックで拡大） Fig-5　（クリックで拡大） Fig-6 （クリックで拡大） Fig-7 （クリックで拡大） 3Dデジタルツールと立体造形 第2回：自由曲線を表現するパラメータとその次数 ●パラメトリック関数表現 前回では、Illurstrator が1次から3次のBezierで表現されることを話した。では自由曲線といわれているものについてもう少し掘り下げてみよう。 まず2次元的なXY平面上に載った曲線を考えてみよう。 このX、Y空間に対して、我々がよく知っている3次方程式で曲線を表現した場合、“Y= aｘ**3 + bｘ**2 + cｘ + d“として表される。 この表現方法では、xとyという2つの変数が存在する。 これに対してBezierやNURBSなどの表現は、Xの値を変数ｔで、同様にYの値を変数tで書き換えることにより、1つの増加する変数（パラメーター）“t”で表現される。 X(t) = at**3 + bt**2 + ct + d Y(t)＝At**3 + Bt**2 + Ct + D （Fig-3）3次のNURBSの曲線の例 同様に、XYZの3次元空間に拡張した場合も、Zの値を、1つの変数“t”で置き換えることにより、同様に表現できる。 Z(t) = αt**3 + βt**2 + γt + δ カーブの形状を変える場合は、単純にコントロールポイントの位置を移動すればよい。 このように、変数（パラメータ）をtに置き換え、自由曲線の形状を決める曲線をパラメトリック曲線と呼び、BezierやNURBSのカーブはパラメトリック曲線とも呼ばれる。 変数ｔは、常に増加する関数で、あるｔの値に対して、常に1つの値しか解がないので扱いやすい。 変数ｔの増加する値は、ここでは“0”から“1”としているが値そのものはいくつでも構わない。 表現するCADやCGによりこの値は、“0-1”から“1”であったり、線分の長さを使用したりさまざまである。 ただ増加する方向によってカーブの方向というものも決まる。 このコラムでは、数式を説明することが目的ではないので、興味のある方は巻末の参考文献を参照していただくとして、これらのパラメトリック関数表現の特徴・利点は下記のように整理できる。 ■3次元カーブは1つの関数“t”で表現できる。 ■3次元カーブの形はコントロールポイントの座標を移動するだけで、数式自体は変えることなく形状を変形することができる。 ■3次元カーブは次数を上げることによって、形状の変化の仕方を滑らかにすることができる。 実際の例として、まずは1次から5次までのBezier表現について見てみよう（Fig-4）。 図の左側はそれぞれ次数を変え、直線的にコントロールポイントを配置したものだ。 当たり前のようだが、カーブを描くには、最低でも始点・終点２つの点が必要だ。 次数１のBezierでは、始点・終点の2つで定義するので、直線しか描けない（理屈では、直線はカーブの一部と考えている）。 次数を1つずつ上げるにしたがって、始点・終点の間にカーブを定義するコントロールポイントを配置し、5次のBezierでは、始点・終点を含む６つのコントロールポイントで必要になる。 直線的な形状を持つカーブをコントロールポイントの位置をずらすことによってカーブの形を図の右側にように編集することができる。 カーブの次数とコントロールポイントの関係だが、次数を上げれば上げるほどコントロールポイントのカーブに対する形状の影響力が弱くなり（他に影響を与えるコントロールポイントが増えていくため）、結果として形状を滑らかに変化させることができる。 当然、少ないコントロールポイントで表現出来る形状は限られてくるので、形状の表現力を上げるためには、次数を上げBezierのコントロールポイントの数を増やすことで対応する。 さて、この図で、曲線上にヒゲのようなものが出ているが、これをカーブの曲率を表示したものである。 曲率とはカーブのある点においてそこに接する円があったと仮定した場合の円の半径の逆数で表す。そのもっとも簡単な例が円や楕円である。 円弧、楕円、双曲線は、コンパスや楕円定規で描くことができる。Fig-5は、それぞれ半径5、半径10の円、長軸20、短軸10の楕円が持つ曲率を表示したものである（Fig-5）。 Fig-6はボンネットの中心を通るカーブの曲率の状態を示したものである。 楕円のように、曲率はスムーズに変化しているが、形状は楕円とは異なる（Fig-6）。 ここまでは、1つのカーブのみを考えてきたが、実際に形を表現しようとした場合、１つのカーブでは表現しきれない場合がある。 Illustatorは、1次から3次までの、Bezier表現を扱うことができ、それで自由曲線を表現している。 したがって、もし、より複雑な形状を表現する場合は、複数のBezierのカーブで表現するしかないことは前回話した通りだ。 Fig-7の下のカーブがIllustatorで描いた例だが、このカーブを分析すると3つのBezierカーブの複合カーブであることが分かる（Fig-7）。 これらのカーブのつながりを見ると一見、滑らかにつながっているように見えるが、カーブの端部において、曲率の値が違っているのが分かる。 上のカーブは、同じBezierでも5次で6つのコントロールポイントで描いたもので、こちらは1つのカーブで完結しているので曲率の変化が滑らかになっている。 Illustatorは、2次元のデザインのツールであるから、グラフィックスデザインの範囲内で使用するには、十分であるかもしれない。もし、Illustatorで描いたアートワークを3次元のモデリングツールに読み込んで使用する場合は、カーブを再度、編集して使用することが必要となることもある。 Bezierカーブは、シンプルな表現方法である。 形状の豊かなカーブを描きたければ次数を上げることにより、形状定義するためのポイントを増やすことで対応する。 ただし、次数を上げることにより数式は等比級数的に複雑になるため、パラメトリック表現のデータとして適切な次数は7次位までではないだろうか。 それではNURBSはBezierとどこが違うのであろうか？ NURBSはBezierの拡張と考えられ。すなわちBezierで表現できる形はすべて、NURBSで表現することができる。 Bezierに比べてNURBSの良いところの1つは、次数を上げることなくコントロールポイントの数を増やすことができるということである。 例えば、同じ3次のカーブでも、コントロールポイントの数を増やすとBezierでは複数のカーブに分割されてしまうが、NURBSではコントロールポイントが増えた場合はカーブの内部をノット（節）という点でセグメント分けすることによって、1本のカーブとして表現することができる。 ノットはNURBSを理解する重要な概念である NURBSについては次回から述べたい。 なお、ここで説明に使用しているツールは、IllustratorとRhinocerosである。 参考文献 ■ビギナーのための曲面モデリングセミナー http://www.rhino3d.co.jp/seminar/series_beginner.html ■CAD・CG技術者のためのNURBS早わかり 著者：中島孝之、大野敏則／工業調査会刊

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