3次元カーブは3次元カーブを表す方程式を増加する変数の値によって計算した点の3次元座標の軌跡として考えられる（Fig-8）。

同様に3次元カーブを別の3次元カーブに沿ってスイープしたカーブの軌跡をサーフェスと考えることができる。ここで、Curve1を3次元空間の中に配置し、直交する方向に同じく別の3次元カーブ、Curve2を配置する（Fig-9）。

Curve1を、Curve2に沿って、スイープしていくとサーフェスが作成される（Fig-10）。

このサーフェスを見れば分かるが、BezierやNURBSのサーフェスは4つの辺から構成されている。すなわちCurve1の始まりと終わりの位置、Curve2とその対角にできる辺だ。

またサーフェスもカーブ同様、コントロールポイントの位置によって形状定義される（Fig-11）。

ここで作成された自由曲面形状のサーフェスと同じ数のコントロールポイントを持つ平面サーフェスを比べてみよう。Fig-12の右の平面サーフェスは、左側の自由曲面形状のサーフェスのコントロールポイントを平面的に配置した例である（Fig-12）。

この2つのサーフェスは同じ次数、同じ数のコントロールポイントで定義されている。これから分かるように、サーフェスもカーブ同様、コントロールポイントの空間的な位置と次数によって形が定義されるということである。

●サーフェスを表現する2つのパラメータ

カーブは、tという1つの変数と、次数、コントロールポイントの位置によって決まることを説明したが、サーフェスはカーブと異なり、2つの変数で表現される。

この2つの変数を、サーフェスでは、uパラメーター、vパラメータと呼ぶ。カーブのパラメーター“t”は、時間（time）からきている。サーフェスの場合は、アルファベット順“ｔ”の後、u,vと決まったと考えておくと分かりやすいだろう。

別の言い方をすると、3次元カーブは、直線的に増加する“ｔ”による1次元空間を持ち、3次元サーフェスは、同じく直線的に増加する2つの“u,v”からなる2次元空間を内部的に持っている。

これらの1次元、2次元でしか持ち得ない形状に、3次元形状を与えているのは、3次元のXYZ座標値を持つ複数のコントロールポイントが、直線や長方形でしか持ち得ない形に空間的な影響を与えるからである。その影響の与え方は、次数によって異なるということである。

以上より、BezierやNURBSのサーフェスは、必ず4つの辺から構成され、u方向、v方向にコントロールポイントが、M行×N列のように配列される。

Fig-13で、どのようなサーフェスも必ず、コントロールポイントの行列で表現され、その途中で、行や列の数が異なるサーフェスはあり得ない（Fig-13）。

UVの概念は重要である。

CGやレンダリングを行うときに、テクスチャマップを行ったことがある方はこの概念が分かるかと思う。4辺から構成されるサーフェスは、内部的にuパラメータ、vパラメータというtパラメータ同様、増加するパラメータを持ち、その増加する方向をｕ方向、v方向と呼ぶ（Fig-14）。

またサーフェスは必ず、4つの辺から構成されるとしたが、見かけ上は3辺、あるいは2辺で構成されているように見える場合がある。これは同一辺上のコントロールポイントがすべて同じXYZ値を与えられたときに、見かけが3辺、あるいは2辺に見えてしまうせいである（Fig-14B）。

サーフェスにFig-15のようなテクスチャを割り当ててみるとこの状況がよく分かる（Fig-15、Fig-16）。

以上、自由曲線、自由曲面のパラメータという概念について説明してきたが、この概念が理解できると、モデリングが論理的に理解できるようになる。